[KOCW-2] 1차 연립방정식과 가우스 소거법

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다.

 

 

 

 

「1차 연립방정식의 풀이」

1차 연립방정식의 풀이는 '해(Solution)의 개수'를 중심으로 나뉜다.

1. 해가 없는 경우(No solution case)
2. 해가 무한한 경우(Infinite solution case)

 

 

풀이의 형식

1. 행 방향 벡터 비교

1-1. 해가 없는 경우 = 두 방정식(직선 혹은 평면)이 평행한다.
1-2. 해가 무한한 경우 = 두 방정식(직선 혹은 평면)이 겹친다.

 

2. 열 방향 벡터 비교

2-1. 해가 없는 경우 = 평행, 동시 접점 존재하지 않는다
2-2. 해가 무한한 경우 = 같은 공간의 해 존재한다.

 

 

 

 

「가우스 소거연산 순서」

1. 1번째 식 - 2번째 식(이때 제일 왼쪽에 있는 문자를 기준(Pivot)으로 소거해나가는데, 프로그래밍이 용이하게 하기 위해서이다)
2. 2번째 식 - 3번째 식(같은 원리로 진행)
3. 이전 작업(n번째식 - n+1번째식)을 미지수 해를 찾을 때까지 반복한다.
4. 열 벡터 연산으로 표현하면 '상삼각 행렬'의 형태를 띠게 되고, '유일 해'를 찾을 수 있다.

 

가우스 소거법

 

특히 연산 중 기준(Pivot) 자리의 미지수가 '0'으로 소거되어 다음 식과의 비교가 어려운 경우, 방정식간 위치를 바꿔줌으로써 연산을 진행해나갈 수 있는데, 이를 피봇팅(Pivoting)이라고 한다. 핵심은 자리를 바꿔서라도 결과를 상삼각 행렬로 만들어 주면 된다는 것이다.

 

 

 

 

「비(非) 정사각 구조 행렬의 곱셈」

정사각 행렬이 아닌 직사각 행렬들의 곱셈은 미지수 개수와 방정식 개수가 일치하지 않기 때문에 '유일 해'가 나오지 않는다.

 

 

 

 

「마무리」

1차 연립방정식의 풀이는 해의 개수에 따라, 벡터 형식에 따라 나눌 수 있다.

가우스 소거 연산은 n번째 식과 그 다음 n+1번째 식의 차감 과정을 통해 미지수 추출하는 방식이다.

가우스 소거연산 도중, 기준(Pivot) 자리의 미지수가 조기에 소거되지 않게 자리를 바꾸어주는 것을 피봇팅(Pivoting)이라고 한다.

정사각 행렬이 아닌 직사각 행렬의 곱셈은 그 미지수 개수와 방정식 개수가 서로 일치하지 않기 때문에 '유일 해'를 구할 수 없다.

 

 

 

 

 

「참고」

https://www.youtube.com/playlist?list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3

2013 2학기 선형대수[이상화 교수]