[KOCW-4] 역행렬과 전치행렬

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다.

 

 

 

 

「역행렬(Inverse matrix)이란?」

역행렬이란, 어떤 행렬 A의 좌, 우측에 곱하여 단위행렬을 만들어주는 행렬을 말한다. 또한, 역행렬은 이러한 이유로 '교환법칙'이 성립한다.

 

 

역행렬의 존재

모든 경우에 역행렬이 존재하지는 않는데, 이를 검사하기위해 사용하는 것이 '행렬식'이다.
행렬식(Determinant, 이하 D)의 결과가 '0'이 아닌 경우, 해당 행렬의 역행렬이 존재한다. 행렬식에 대한 자세한 내용은 추후에 다룰 예정이다.

 

 

역행렬의 개수

역행렬은 정사각행렬의 경우에 한해 1개, '유일 해'이다(1:1 대응). 이와 반대로 직사각행렬(미지수>방정식)의 경우, 무수히 많거나, 없을 수 있다(D=0).

 

행렬당 역행렬 = 1개

 

 

영행렬의 역행렬

영행렬(모든 원소가 '0'으로 이루어진 행렬)은 역행렬이 존재하지 않는다.

 

 

역행렬 공식

2×2 행렬

 

2x2 행렬의 역행렬 공식

 

3x3 행렬

 

1. 사러스(Sarrus) 법칙 활용
2. 여인수, 소행렬 활용

 

4x4 행렬(그 이상)

여인수, 소행렬 활용

 

 

가우스 소거법 가능 여부

주대각원소가 '0'이 아닌, 그러니까 '대각 행렬(Diagonal matrix)'인 경우에 가우스 소거법을 적용할 수 있다.

 

 

행렬곱의 역행렬

행렬곱의 역행렬 연산은 각 행렬의 역행렬을 역순으로 곱한 것이다.

 

행렬곱의 역행렬

 

 

LU 분해의 연산

다음 예시와 같이 행렬의 LU 분해에 대한 역 연산을 진행할 수 있다.

 

LU 분해의 역행렬 연산

 

 

 

 

「행렬의 여러가지 연산 성질」

'행렬의 연산'이 가지는 성질에는 여러 가지가 있는데, 이는 다음과 같다.

 

전치행렬의 성질

 

첫 번째 식과 두 번째 식에서 설명하는 성질은 '행렬 덧셈에서의 전치와 역의 거듭제곱에 대한 분배 법칙'이다.
행렬의 전치 연산은 '덧셈에 대한 분배 법칙'을 성립한다. 다만, 역행렬 연산은 이것이 성립하지 않는다.

세 번째 식과 네 번째 식에서 보여주는 성질은 '행렬 곱셈에서의 전치와 역의 거듭제곱 대한 분배 법칙'이다. 행렬의 전치 연산과 역행렬 연산 모두 분배 법칙을 성립한다. 다만, 곱의 순서를 바꾸어주어야 한다. 행렬의 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 따라서 이는 엄연히 다른 결과를 나타낸다.

마지막 식은 '행렬의 거듭제곱끼리의 교환 법칙'이다. 행렬의 곱셈에 대한 교환 법칙이 성립하기 때문에 이 또한 성립한다.

 

 

 

 

「대칭행렬(Symmetric)이란?」

대칭행렬이란, 행렬 A가 그것의 전치행렬과 동일한 경우에 한해, 행렬 A를 말한다. 쉽게 말해, 주대각원소를 기준으로 대칭인 행렬을 말한다.

 

대칭행렬 A

대각행렬과 대칭행렬

 

대칭행렬의 성질

1. 정사각행렬이다(Square matrix).
2. 역행렬 역시, 대칭행렬이다.
3. 가우스 소거법을 보다 수월하게 진행할 수 있다(LU 분해 시, L이나 U하나를 구하면 나머지를 자동으로 구할 수 있다).

 

대칭행렬의 LU 분해 시, 가우스 소거법의 용이

 

 

 

 

「상관행렬(Correlation matrix)」

상관행렬이란, 행렬 A와 그것의 전치행렬의 곱의 결과인 행렬을 말한다.

 

상관행렬

 

상관행렬은 대칭행렬이라는 특징이 있다.

 

상관행렬의대칭성

 

다음은 상관행렬의 실효성을 보여주기 위한 예시이다.

 

상관행렬을 각각 행 벡터 행렬과 열 벡터 행렬의 형태로 표현한 뒤에 이를 곱하면, 벡터의 행렬이라는 가정 하에 주대각원소는 자기 자신(벡터)의 제곱이고 나머지 원소는 다른 벡터에 대한 내적으로 생각할 수 있다.

 

상관행렬의 제곱

 

이러한 성질은 앞으로 이어나갈 내용들에 대해 유용한 기능을 제공할 것이다.
추가적인 내용은 이후 포스트에서 알아보도록 하자.

 

 

 

 

「마무리」

역행렬이란 곱해서 단위행렬을 만들어주는 행렬이며, 흔히 대수학에서의 역수로서의 기능을 하기 때문에 '역행렬'이라고 한다.

행렬식이 '0'이 아닌 행렬만이 역행렬을 가질 수 있다. 또한, 그러한 경우 역행렬은 정사각행렬 기준 각 행렬당 1개 즉, 유일해이다.

영행렬의 역행렬은 존재하지 않는다.

행렬의 각 크기별로 역행렬을 구하는 공식은 다양하며, 가우스 소거법을 적용하려는 경우에는 주대각원소가 '0'인 원소를 가지면 안된다.

역행렬의 연산 성질을 전치행렬의 경우와 비교하여 살펴보자면, 전치행렬과 달리 역행렬은 행렬의 덧셈에 대한 전치와 역 거듭제곱의 분배 법칙이 성립하지 않는다.

행렬의 곱셈에 대한 전치와 역 거듭제곱의 분배 법칙은 전치행렬과 역행렬 모두 성립한다. 다만, 행렬곱의 순서를 바꾸어주어야 한다.

행렬의 거듭제곱 간 교환 법칙이 성립하는 것처럼, 전치 연산과 역 연산의 교환법칙 또한 성립한다.

대칭행렬은 주대각원소를 기준으로 대칭인 행렬을 말한다.

대칭행렬의 전치행렬 역시 대칭행렬이며, 이러한 대칭행렬은 가우스 소거법이 보다 수월하다는 장점이 있다.

상관행렬은 행렬 A의 전치행렬과 그 행렬 A를 곱한 것으로, 대칭행렬이라는 특징이 있다.

상관행렬의 각 원소를 개별의 벡터로 바라보는 관점에서 주대각원소는 각 벡터의 거듭제곱으로, 나머지 원소들은 벡터 간 내적으로 해석할 수 있다.

 

 

 

 

「참고」

https://www.youtube.com/playlist?list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3

2013 2학기 선형대수[이상화 교수]