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포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다. 「영벡터공간(Null space)」 영벡터공간(Null space, 이하 널공간)은 영벡터와의 선형결합으로 만들어 낼 수 있는 벡터공간집합을 말한다. 널공간 역시, 벡터의 덧셈연산과 스칼라곱연산에 대해 닫혀있다. 「해가 존재할 경우, 스팬(Span) 한다」 그렇다면 갑자기 널공간에 대해서 배우는 알아보는 이유는 무엇일까? 그 이유를 알기 위해서, 잠시 앞서 배운 내용들을 잠시 되짚어보자. 행렬 A의 역행렬(Inverse)이 존재하는 경우에는 유일 해(Unique solution)가 존재하거나 해가 존재하지 않는 경우이고, 역행렬이 존재하지 않는 경우에는 무수히 많은 해(Infinite solution)가 존재..

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다. 「공간(Space)과 벡터공간(Vector space)」 공간이란 '몇가지 특별한 속성과 부가적 구조를 갖는 집합'이다. 특히 이중에서도 우리가 살펴볼 벡터공간이란 '벡터의 합과 이들 벡터의 스칼라 곱에 대한 연산이 닫혀있는 집합'을 말하는데, 벡터공간의 예시는 다음과 같다. 벡터공간의 의의 앞서 배운 선형 연립방정식의 해를 벡터의 관점에서 바라보면 결국 '벡터공간'이다. 그간의 미지수의 개수와 방정식의 개수가 일치하는 경우(정사각행렬)에서의 가우스 소거법을 통해 구해진 해는 벡터에서 한 점, 그러니까 1개의 점에 대응하는 벡터 포인트(Vector point)를 의미하였다. 하지만, 미지수와 방정식의 개수가 ..

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다. 「역행렬(Inverse matrix)이란?」 역행렬이란, 어떤 행렬 A의 좌, 우측에 곱하여 단위행렬을 만들어주는 행렬을 말한다. 또한, 역행렬은 이러한 이유로 '교환법칙'이 성립한다. 역행렬의 존재 모든 경우에 역행렬이 존재하지는 않는데, 이를 검사하기위해 사용하는 것이 '행렬식'이다. 행렬식(Determinant, 이하 D)의 결과가 '0'이 아닌 경우, 해당 행렬의 역행렬이 존재한다. 행렬식에 대한 자세한 내용은 추후에 다룰 예정이다. 역행렬의 개수 역행렬은 정사각행렬의 경우에 한해 1개, '유일 해'이다(1:1 대응). 이와 반대로 직사각행렬(미지수>방정식)의 경우, 무수히 많거나, 없을 수 있다(D=..

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다. 「LU 분해(Fatorization, Composition)이란?」 LU 분해의 정의는 행렬을 하삼각행렬 L과 상삼각행렬 U의 곱으로 표현하는 수치해석학의 기술이다. 한마디로 '행렬의 인수분해'를 말한다. 앞선 포스트부터 우리가 집중하여 알아보고 있는 1차 연립방정식의 경우에서는 풀이를 수월하게 하기 위해 행렬로 변환하였을 때, 각 방정식을 소거할 수 있는 인수들의 행렬 L(Lower matrix)과 소거되어 결과로 표현된 행렬 U(Upper matrix)의 인수분해형태를 ‘LU분해’라고 부른다. 'L'은 단위행렬에 각 방정식 간의 소거 내용이 원소로 포함된 형태의 행렬이며 '원소행렬'이라고 부른다. 하삼각 ..

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다. 「1차 연립방정식의 풀이」 1차 연립방정식의 풀이는 '해(Solution)의 개수'를 중심으로 나뉜다. 1. 해가 없는 경우(No solution case) 2. 해가 무한한 경우(Infinite solution case) 풀이의 형식 1. 행 방향 벡터 비교 1-1. 해가 없는 경우 = 두 방정식(직선 혹은 평면)이 평행한다. 1-2. 해가 무한한 경우 = 두 방정식(직선 혹은 평면)이 겹친다. 2. 열 방향 벡터 비교 2-1. 해가 없는 경우 = 평행, 동시 접점 존재하지 않는다 2-2. 해가 무한한 경우 = 같은 공간의 해 존재한다. 「가우스 소거연산 순서」 1. 1번째 식 - 2번째 식(이때 제일 왼쪽..

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다. 「선형성(Linearity)이란?」 선형성의 정의는 '직선처럼 똑바른 도형, 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상'을 말한다. 이는, 대수학에서 '직선의 성직을 가지는 식 또는 연산'을 의미한다. 이러한 선형성을 갖기위해서는 다음과 같은 조건들을 모두 만족해야한다. 「선형성의 판별조건」 1. 중첩의 원리(Superposition) 2. 동질의 원리(Homogeneity) 3. 원점 통과 위와 같은 조건들을 모두 만족해야 '선형성'을 갖는다고 할 수 있다. 「행렬(Matrix)이란?」 행렬은 '수 또는 다항식 등을 직사각형 모양으로 배열한 것'으로, 이때 가로줄을 행(Row), 세로줄을 열(Column)이라고 부..