[KOCW-5] 벡터공간과 열벡터공간

포스팅에 앞서 이 게시글은 Reference의 contents를 review하는 글임을 밝힌다.

 

 

 

 

「공간(Space)과 벡터공간(Vector space)」

공간이란 '몇가지 특별한 속성과 부가적 구조를 갖는 집합'이다.
특히 이중에서도 우리가 살펴볼 벡터공간이란 '벡터의 합과 이들 벡터의 스칼라 곱에 대한 연산이 닫혀있는 집합'을 말하는데, 벡터공간의 예시는 다음과 같다.

 

벡터공간의 예시

 

 

벡터공간의 의의

앞서 배운 선형 연립방정식의 해를 벡터의 관점에서 바라보면 결국 '벡터공간'이다.
그간의 미지수의 개수와 방정식의 개수가 일치하는 경우(정사각행렬)에서의 가우스 소거법을 통해 구해진 해는 벡터에서 한 점, 그러니까 1개의 점에 대응하는 벡터 포인트(Vector point)를 의미하였다.

 

하지만, 미지수와 방정식의 개수가 일치하지 않는 형태(직사각행렬)의 문제가 발생하는 경우에는 다른 접근방식을 찾아야 한다.

미지수보다 방정식의 개수가 더 적은 경우에는 최적해(유일 해)가 나오지 않는 경우가 발생할 수 있다.
이러한 경우에는 1개의 점(벡터 포인트)에 대응시킬 수 없기 때문에 1차원의 '선', 2차원의 '면', 3차원의 '입체'에 의해서만 표현할 수 있다.

또한, 미지수보다 방정식의 개수가 더 많은 경우 역시 최적해(유일 해)가 나오지 않는 경우가 발생할 수 있는데, 예를 들어 3개의 직선에 대해 모든 직선이 교차하는 점이 없고 각각 2개의 직선씩 교차하는 경우이다. 이러한 경우에는 각각의 2개 직선에 대한 해 사이에서 오차율을 가장 크게 줄일 수 있는 평균값을 해로 구하는 방식의 풀이도 가능하며 이러한 풀이는 '정사영'의 풀이 방식을 통해 가능하다.

 

 

 

 

「벡터공간의 성질」

다음은 벡터공간의 성질들이다.

 

1. 교환법칙 성립

 

덧셈의 교환법칙

 

2. 결합법칙 성립

 

덧셈의 결합법칙

 

3. 덧셈에 대한 항등원(영벡터) 존재

 

항등원의 경우

 

4. 덧셈에 대한 역원 존재

 

역원의 경우

 

5. 스칼라 '1' 곱 = 자기자신

 

 

6. 분배법칙

 

분배법칙

분배법칙2

 

 

벡터공간의 예시

1. 행렬

 

행렬

 

2. 다항함수

 

다항함수

 

3. 지수함수

지수함수의 경우에도 벡터공간으로 표현할 수 있다. 여기서는 테일러급수나 푸리에 급수를 통해 근사화 한 다항식의 극한으로 표현하는 경우이다.

 

여기서 잠시 간략하게 테일러급수와 푸리에급수를 설명하자면, 테일러급수는 대상이 되는 함수에 대해 정의역의 특정 점(Base point)의 미분계수들을 계수로 가지는 다항식의 극한으로 근사화하여 표현하는 방법이고, 이와 달리 푸리에급수는 대상이 되는 함수에 대해 Sinθ(사인 함수)나 Cosθ(코사인 함수)를 가진 삼각함수나 지수함수의 일차결합으로 근사화하여 표현하는 방법이다.

 

이러한 지수함수를 급수로 표현하는 경우, 벡터로 표현하게되면 '벡터공간'이라고 한다.
또한 추가적으로 유한의 벡터공간인 경우, 힐버트공간(Hilbert space)이라고 한다.

 

 

서브공간

서브공간이란 전체 벡터공간의 일부 즉, '벡터공간의 부분집합'을 말한다.

 

 

 

 

「벡터공간의 '원점통과' 조건」

앞서 배운 선형성의 조건이기도 한 '원점통과'가 벡터공간이 성립하기 위한 조건에 속한다.
원점을 지나야 항등원, 역원을 구할 수 있으며 각 벡터끼리의 연산도 닫혀있다고 할 수 있기 때문이다.

 

아래의 예시를 보자.

 

원점 통과 여부에 따른 벡터공간 성립

 

원점을 지나는 직선에서의 두 벡터 간 덧셈 및 스칼라 곱에 대해 해당 직선 내에 닫혀있음을 알 수 있다. 하지만 원점을 지나지 않는 직선에서의 두 벡터간 동일 연산을 들여다보면, 연산 결과가 직선 밖에 존재함을 보이며 이를 통해 해당 연산들에 대해 닫혀있지 않음을 알 수 있다.

 

 

 

 

「행렬에 대한 4가지 벡터공간과 열공간(Column space)」

행렬의 벡터공간에는 4가지가 있다. 여기서는 열공간에 대해 중점적으로 알아볼 예정이다.

 

행렬의 벡터공간 4가지

1. 열공간(Column space)
'행렬 A의 열끼리의 모든 선형결합집합'을 말한다.

 

행렬 A의 열공간

 

2. 행공간(Row space)
3. 널공간-i
4. 널공간-ii

 

 

열공간의 의의

선형 연립방정식과 벡터 사이의 관계는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

열공간 예시1

 

이러한 벡터의 성질은 앞서 배운 선형성과 결부되어 생각할 수도 있는데, 여기서의 미지수 x는 행렬 A로부터 뽑은 그것의 계수(스칼라), 그러니까 각각의 열벡터인 a와의 선형결합을 통해 벡터 b를 도출하고 있다. 이러한 방정식은 벡터 b로 하여금 벡터 a의 열공간내에 필히 존재하여야 한다는 조건을 갖게 한다.

또한, 이러한 조건을 통해 연산 절차를 밟지 않고도 벡터 b에 대한 해의 유무를 알 수 있다(벡터 b ∈ 벡터 a의 열공간, 해 존재).

 

다음 예시에서는 이러한 선형성을 활용하여, 벡터 공간 A의 특정 벡터에 대한 해를 활용하여 같은 벡터공간 내의 다른 벡터에 대한 정보를 얻을 수도 있다는 것을 보여준다.

 

열공간 예시2

 

b가 행렬 A의 열공간 C(A)에 속한다면, 적어도 b에 대한 하나의 해를 만족할 것이다. 하지만, b가 속하지 않는다면, 해를 만족하지 않는다.

 

 

 

 

「마무리」

공간이란, '몇 가지 특별한 속성과 부가적 구조를 갖는 집합'이다.

벡터공간이란, '벡터의 합과 이들 벡터의 스칼라 곱에 대한 연산이 닫혀있는 집합'이다.

벡터공간이 갖는 의의는 유일 해로 특정 지을 수 없을 때, 해가 나올 수 있는 범위로서의 역할을 한다는 점이다.

벡터공간의 성질은 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙, 스칼라 곱 그리고 덧셈에 대한 항등원과 역원이 존재한다는 점이다.

서브공간이란, '벡터공간의 부분집합'을 말한다.

벡터공간 역시 선형성의 조건과 동일하게 '원점을 필히 통과해야 함'을 조건으로 가지고 있다.
이러한 조건이 전제되어야 벡터 간 합이나 스칼라 곱 등의 연산에 대해 닫혀있을 수 있기 때문이다.

행렬에서의 벡터공간의 종류에는 열공간, 행공간, 널공간(i, ii)등 총 4가지가 있으며,
그중에서도 열공간은 같은 공간 내의 다른 벡터들에 대한 정보를 얻을 수 있다는 측면에서 중요한 의미를 가진다.

 

 

 

 

「참고」

https://www.youtube.com/playlist?list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3

2013 2학기 선형대수[이상화 교수]